有这项技能，初中直升清华

距离年高考还有不到两百天，当无数高中生还在为千军万马过独木桥儿紧锣密鼓准备之时，有部分初中生却已经一只脚踏入了清华大学的校门。

年的最后一天，清华大学发布官方通知，将启动“丘成桐数学科学领军人才培养计划”，初三学生就可申请，有机会直接走上本硕博连读的“学霸道路”。

在大部分同学还在为一次、二次函数头疼的时候，杭州已经有会微积分的初中生报名了。

“微积分”，听起来是大学生才会接触到的三个字，俨然成了判断超前学霸的指标。它究竟有多难？

先别着急皱眉头，其实早在我们小学二年级的时候（甚至可能更早），就已经见识过微积分了，而且我们身边许多看似理所应当工具，全都要拜它所赐。

无穷之“罪”

相信每一位小学数学老师都曾这样提醒过刚学习除法的我们：0一定不可以作为除数，因为没有数乘以零会得出非零数。我们从此将其奉为圭臬。可另外一种有意思的情况：在实无穷条件下，如果一个无限接近0的数被累计无穷次，结果可以等于任何数。微积分，便是把复杂的问题分解为无穷个小问题（微分），再将它们组合在一起（积分）。组合多少次呢？无穷次。“无穷”是一个奇妙的封印。数学家史蒂夫·斯托加茨（StevenStrogatz）在著作《微积分的力量》中将无穷称作“被通灵术召唤的灵魂”，这可不是恭维。例如，如果一段很短的线段被分为实无穷段，则每一段的长度为0。亚里士多德认为这会招致谬论，所以，他不允许在数学和哲学中使用实无穷，只能使用潜无穷。在接下来的年里，他的这条“法令”得到了数学家的支持。在史前时期的黑暗角落里，有人意识到数字是无尽的。伴随着这样的想法，无穷诞生了，它是我们心灵深处、无底噩梦和永生愿望中的某些东西的数字对应物。无穷也是我们的很多梦想、恐惧和未解之谜的核心：宇宙有多大？永远是多久？上帝有多强大？几千年来，在人类思想的每一个分支，从宗教、哲学、科学到数学，无穷一直困扰着世界上最优秀的大脑，始终被视为一个危险的概念。

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而正如《微积分的力量》的引文原书名InfinitePowers（可直译为“无穷的力量”）所暗示的，无穷拥有力量，但只有在被“驯化”后才能够发挥它惊人而奇妙的能量，这种“驯化”实则是一场壮丽的天才接力。在书中，斯托加茨本人成了一位优雅从容的引路者，将天才们的生命之链徐徐展开。

“我们之后的世代”

如何用素描技法画出一个圆？首先要画一个方形，再将它一步步切成多边形，边越多，看起来越像一个完美的圆。阿基米德运用了类似的思路计算圆周率。但圆并不是由直线组成的，而是由弯曲的弧组成的。当我们用直线来代替每一段弧时，就相当于走了点儿捷径。因此，近似值肯定小于圆形路径的实际长度。但至少在理论上，通过走足够多的步数，并且每一步的步长足够短，我们就可以尽可能精确地估算出圆形路径的长度。阿基米德从由6条线组成的路径开始，6是一个非常小的步数，六边形显然也不太像一个圆，但对阿基米德来说一切才刚开始。当从六边形中得出结论之后，他缩短了步长，并将步数翻倍。他的做法是，绕路到每段弧的中点处，用两小步取代之前的横跨弧的一大步。之后他不断重复这一做法。从6步到12步，24步、48步、96步，并以令人头痛不已的精密度算出了这些不断缩小的步长。

阿基米德徒步切圆示意图

（图源《微积分的力量》：驾驭无穷的勇士）

无论是在逻辑上还是在算术上，阿基米德计算π值的行为都堪称壮举。借助圆内接96边形和圆外接96边形，他最终证明π大于3+10/71而小于3+10/70。人们崇拜阿基米德，是因为他在自己的论著中做了鲜有天才会做的事情：邀请我们参与其中，向我们展示他是如何思考的。他冒着受到攻击的风险，分享了自己的直觉，希望未来的数学家也能够用它去解决他不理解的问题。今天，这个秘诀被称为阿基米德方法。

阿基米德方法复写本

（图源：top.zhan.

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